转动惯量、惯性张量、转动动能的推导

从牛顿第二定律推出绕固定轴旋转的转动惯量，再用类似方法从牛顿第二定律推出绕固定点转动的惯性张量

再推出绕固定点旋转时的转动动能

基础定义

角速度ω\omegaω是一个三维向量，方向表示旋转轴，用右手定则代表旋转方向，长度代表旋转弧度的速度

线速度：v=ω×rv=\omega \times rv=ω×r ，其中rrr代表旋转轴或旋转中心点到质点的垂直连线 r⊥ωr\perp \omegar⊥ω

角加速度为 α=dωdt\alpha = \frac {d\omega} {dt}α=dtdω​ ，加速度为 a=dvdta = \frac {dv} {dt}a=dtdv​，可推出 a=α×ra=\alpha \times ra=α×r

牛顿第二定律 F=maF=maF=ma，mmm为质点质量

力矩：τ=r×F\tau=r\times Fτ=r×F，可以相加

绕固定轴 转动惯量推导

在旋转中，平动的力相当于旋转的力矩，平动的线加速度相当于角加速度，质量则代表平动的惯性，那么转动的惯性即为转动惯量

需要找到一个量乘以加速度为该质点所受总力矩

在固定转轴的旋转中，只有F⊥rF\perp rF⊥r的分力有作用，故只考虑这种力

F=ma=mα×rτ=r×F=m⋅(r×α×r)因为r⊥α ,则r×α×r=∣∣r∣∣2ατ=m∣∣r∣∣2α

\begin{align}

F&=ma=m\alpha \times r \\

\tau&=r\times F=m\cdot(r\times\alpha\times r) \\

因为&r\perp \alpha\ ,则r\times \alpha \times r=||r||^2\alpha \\

\tau &=m||r||^2\alpha

\end{align}

Fτ因为τ​=ma=mα×r=r×F=m⋅(r×α×r)r⊥α ,则r×α×r=∣∣r∣∣2α=m∣∣r∣∣2α​​

将物体的每一个质点积分起来，则可定义转动惯量为J=∫∣∣r∣∣2dmJ=\int||r||^2dmJ=∫∣∣r∣∣2dm，τ=Jα\tau=J\alphaτ=Jα，与牛顿第二定律F=maF=maF=ma对应

物理模拟时可用力矩算出角速度变化量

绕固定点 惯性张量推导

牛二推导

对于任意刚体，施加在刚体上的力FFF可以分解为重心到力作用点的方向F1F_1F1​和垂直于该方向的力F2F_2F2​，可以认为在这一瞬间，只有F1F_1F1​会移动该物体，没有旋转作用，F2F_2F2​只对物体具有旋转作用

现在考虑旋转，故只考虑F2F_2F2​，假设rrr为重心到力作用点连线，mmm为该位置质点质量，F⊥rF\perp rF⊥r

刚体最终的旋转由所有力矩加和决定，故对于单一的一个质点所对应的rrr，不满足r⊥αr \perp \alphar⊥α

需要找到一个量乘以加速度为该刚体所受总力矩

F=ma=mα×rτ=r×F=m⋅(r×α×r)

\begin{align}

F&=ma=m\alpha \times r \\

\tau&=r\times F=m\cdot(r\times\alpha\times r) \\

\end{align}

Fτ​=ma=mα×r=r×F=m⋅(r×α×r)​​

此时rrr不垂直于α\alphaα，则(r×α×r)(r\times\alpha\times r)(r×α×r)需要中展开计算

r×α×r=[r2α3−r3α2r3α1−r1α3r1α2−r2α1]×[r1r2r3]=[r32α1−r1r3α3−r1r2α2+r22α1r32α2−r1r2α1−r2r3α3+r12α2r22α3−r2r3α2−r1r3α1+r12α3]=[r22+r32−r1r2−r1r3−r1r2r12+r32−r2r3−r1r3−r2r3r12+r22]⋅[α1α2α3]=Iα

r\times\alpha\times r=

\left[\begin{matrix}

r_2\alpha_3-r_3\alpha_2 \\

r_3\alpha_1-r_1\alpha_3 \\

r_1\alpha_2-r_2\alpha_1

\end{matrix}\right]

\times

\left[\begin{matrix}

r_1 \\r_2 \\ r_3

\end{matrix}\right]=

\left[\begin{matrix}

r_3^2\alpha_1-r_1r_3\alpha_3-r_1r_2\alpha_2+r_2^2\alpha_1 \\

r_3^2\alpha_2-r_1r_2\alpha_1-r_2r_3\alpha_3+r_1^2\alpha_2 \\

r_2^2\alpha_3-r_2r_3\alpha_2-r_1r_3\alpha_1+r_1^2\alpha_3

\end{matrix}\right] \\

=\left[\begin{matrix}

r_2^2+r_3^2 & -r_1r_2 & -r_1r_3 \\

-r_1r_2 & r_1^2+r_3^2 & -r_2r_3 \\

-r_1r_3 & -r_2r_3 & r_1^2+r_2^2 \\

\end{matrix}\right]

\cdot \left[\begin{matrix}

\alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3

\end{matrix}\right] = I\alpha

r×α×r=​r2​α3​−r3​α2​r3​α1​−r1​α3​r1​α2​−r2​α1​​​×​r1​r2​r3​​​=​r32​α1​−r1​r3​α3​−r1​r2​α2​+r22​α1​r32​α2​−r1​r2​α1​−r2​r3​α3​+r12​α2​r22​α3​−r2​r3​α2​−r1​r3​α1​+r12​α3​​​=​r22​+r32​−r1​r2​−r1​r3​​−r1​r2​r12​+r32​−r2​r3​​−r1​r3​−r2​r3​r12​+r22​​​⋅​α1​α2​α3​​​=Iα

将每一个质点积分起来，可以得到惯性张量

令I=∫[r22+r32−r1r2−r1r3−r1r2r12+r32−r2r3−r1r3−r2r3r12+r22]dm 为惯性张量

令I=\int\left[\begin{matrix}

r_2^2+r_3^2 & -r_1r_2 & -r_1r_3 \\

-r_1r_2 & r_1^2+r_3^2 & -r_2r_3 \\

-r_1r_3 & -r_2r_3 & r_1^2+r_2^2 \\

\end{matrix}\right] dm \ 为惯性张量

令I=∫​r22​+r32​−r1​r2​−r1​r3​​−r1​r2​r12​+r32​−r2​r3​​−r1​r3​−r2​r3​r12​+r22​​​dm 为惯性张量

则τ=Iα\tau = I\alphaτ=Iα，与牛顿第二定律F=maF=maF=ma对应

经典定义

令r=(x y z)Tr=(x\ y\ z)^Tr=(x y z)T，就可以得到惯性张量的经典定义

令I=[IxxIxyIxzIyxIyyIyzIzxIzyIzz]Ixx=∫(y2+z2)dmIxy=Iyx=−∫xy dm其余同理

令I=\left[\begin{matrix}

I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\

I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\

I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \\

\end{matrix}\right] \\

I_{xx}=\int (y^2+z^2) dm \\

I_{xy}=I_{yx}=-\int xy\ dm \\

其余同理

令I=​Ixx​Iyx​Izx​​Ixy​Iyy​Izy​​Ixz​Iyz​Izz​​​Ixx​=∫(y2+z2)dmIxy​=Iyx​=−∫xy dm其余同理

并且可以得到I=∫((rT⋅r)1−r⋅rT) dmI=\int ((r^T\cdot r)1-r\cdot r^T)\ dmI=∫((rT⋅r)1−r⋅rT) dm，其中111为单位矩阵

旋转转换公式

注意到III会随着刚体的旋转而变化，不太好用，但是存在一个转换公式

假设物体最开始惯性张量为IbodyI_{body}Ibody​，在应用了旋转矩阵RRR之后

惯性张量将变为

I=∫((rTRT⋅Rr)1−Rr⋅rTRT) dm=∫((rTr)1−Rr⋅rTRT) dm=∫((rTr)R⋅1⋅RT−Rr⋅rTRT) dm=R(∫((rTr)1−r⋅rT) dm)RT=R Ibody RT

\begin{align}

I&=\int((r^TR^T\cdot Rr)1-Rr\cdot r^TR^T) \ dm \\

&=\int((r^Tr)1-Rr\cdot r^TR^T) \ dm \\

&=\int((r^Tr)R\cdot 1\cdot R^T-Rr\cdot r^TR^T) \ dm \\

&=R\left(\int((r^Tr)1-r\cdot r^T) \ dm\right )R^T \\

&=R\ I_{body}\ R^T

\end{align}

I​=∫((rTRT⋅Rr)1−Rr⋅rTRT) dm=∫((rTr)1−Rr⋅rTRT) dm=∫((rTr)R⋅1⋅RT−Rr⋅rTRT) dm=R(∫((rTr)1−r⋅rT) dm)RT=R Ibody​ RT​​

如此就方便转换了，而惯性张量可以在刚体初始时计算出来

物理模拟时，可以统计作用在一个刚体上的力矩加和，再求惯性张量的逆，可以算出角速度变化量

转动动能

对于动能 E=12∫∣v∣2dmE=\frac 1 2\int|v|^2dmE=21​∫∣v∣2dm ，利用 v=ω×rv=\omega \times rv=ω×r 进行推导

并且使用叉乘的性质 (a×b)Tc=aTb×c(a\times b)^Tc=a^Tb\times c(a×b)Tc=aTb×c，进行转换

该性质将在后面证明

E=12∫∣v∣2dm=12∫(ω×r)T(ω×r)dm=12∫ωT(r×ω×r)dm (上述性质)=12ωTIω (由上一节推导可得惯性张量)

\begin{align} E&=\frac 1 2 \int |v|^2 dm=\frac 1 2 \int (\omega \times r)^T(\omega \times r) dm \\ &=\frac 1 2 \int \omega^T(r\times \omega\times r)dm \ \ \ \ \ (上述性质)\\ &=\frac 1 2 \omega^TI\omega \ \ \ \ \ (由上一节推导可得惯性张量) \\ \end{align}

E​=21​∫∣v∣2dm=21​∫(ω×r)T(ω×r)dm=21​∫ωT(r×ω×r)dm (上述性质)=21​ωTIω (由上一节推导可得惯性张量)​​

附录

关于叉乘性质

(a×b)Tc=aTb×c(a\times b)^Tc=a^Tb\times c(a×b)Tc=aTb×c

思路一：

叉乘可以写为行列式

∣ijka1a2a3b1b2b3∣

\left|\begin{matrix} i &j &k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{matrix}\right|

​ia1​b1​​ja2​b2​​ka3​b3​​​

然后再加上点乘，这两个式子都可以写成行列式

∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣

\left|\begin{matrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{matrix}\right|

​a1​b1​c1​​a2​b2​c2​​a3​b3​c3​​​

这个行列式得绝对值代表三个向量形成得平行六面体体积

思路二：

a×ba \times ba×b代表这两个向量形成平面得法向量，且长度为四边形面积，再点乘c，即相当于底乘高，得到平行六面体体积

aTb×c=aT(b×c)a^Tb\times c = a^T(b\times c)aTb×c=aT(b×c) ，即相当于用另一个面来计算底乘高，体积是相等的